ГЛАВА 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕМАГНИТНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ С БЕГУЩИМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

5.1 Движение частицы в бегущем магнитном поле

Электрическое поле в рабочем зазоре индуктора описывается полной системой уравнений Максвелла /28/.

• 
• (5.1)

которая дополняется уравнениями

• 
• (5.2)

где
• - напряженность электрического поля;
• - вектор магнитной индукции;
• - электрическое смещение;
• ε₀ и μ₀- электрическая и магнитная постоянные,
• ε и μ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды в рассматриваемой точке поля;
• γ - удельная электрическая проводимость среды.

В электрических и линейных двигателях катушки обмоток укладываются в пазах /29/. Под воздействием пазов магнитное поле в зазоре приобретает весьма сложный характер и трудно поддается расчету. Поэтому обычно принимают, что поверхности индукторов лишены пазов и на них располагают бесконечно тонкие токовые слои или поверхностные токи. Для упрощения задачи принимают также, что для сердечников стали μ_С = ∞ и машина имеет в направлении оси y бесконечные размеры (рисунок 5.1), т.е. рассматривают плоскопараллельную задачу, когда Ву = Ну = 0.

Рисунок 5.1 - Характер магнитного поля в зазоре при распределении обмотки на гладких поверхностях сердечников

Напряженность магнитного поля в зазоре индуктора по рисунку 5.1 при принятых допущениях имеет две составляющие НХ и НZ, из которых наибольшее значение для основных рабочих процессов в машине имеет составляющая НZ. Поэтому обычно принимается, что не только НУ = 0, но также НХ =0 и НZ вдоль координаты z постоянны. Соответственно, при бегущем вдоль координаты х поле принимается, что

• Н=Нz= Hm sin ( t - x)
  a = π / τ .
• (5.3)

В действительности подобного магнитного поля существовать не может, так как при этом не соблюдается уравнение Максвелла. В самом деле, если вычислить проекции для некоторой точки зазора, то при НХ = 0 получим

Таким образом

плотность тока в зазоре равна нулю, и поэтому, должно быть также

Очевидно, что поле, на основании уравнения (5.3), может существовать при НХ = НУ = 0 только в случае, когда на протяжении всего зазора ток распределен с определенной плотностью

• 
• (5.4)

Таким образом, приходим к выводу, что при дальнейшей идеализации задачи, когда существует только первичное поле, необходимо принять, что ток обмотки сосредоточен не в пазах и не на поверхности индуктора, а распределен равномерно по сечению зазора величиной δ. При этом объемная плотность тока, в соответствии с (5.4), должна представлять собой бегущую волну.

Рисунок 5.2 - Характер магнитного поля в зазоре при распределении обмотки в зазоре между сердечниками

В связи с этим можно представить себе, что обмотка вынесена из пазов и рассыпана в виде бесконечно тонких проводников по всему сечению зазора, а сами пазы заполнены сталью /30/.

Реальная же обмотка создает, кроме основной гармоники поля определяемого по формуле (5.3), также высшие гармоники поля, которые будут оказывать существенное влияние на мелкие частицы дисперсионной среды, геометрические размеры которых существенно малы по сравнению с полюсным делением τ.

Поместим в бегущее магнитное поле, описываемое уравнением (5.3), плоскую бесконечно тонкую проволочную рамку прямоугольной формы так, чтобы нормаль к этой рамке была параллельна оси z , а стороны были направлены вдоль осей х и у (рисунок 5.3). При этом пусть стороны рамки имеют некоторые конечные размеры: d - длина стороны, направленной вдоль оси х, l - длина стороны, направленной вдоль оси у.

Магнитный поток, пронизывающий плоскость рамки S (рисунок 5.4), равен

В нашем случае (рисунок 5.4)

где х_с - координата центра рамки. Имеем:

B(x, t) = Bm sin (ωx - αt)

Определим электродвижущую силу, возникающую в рамке по формуле

и ток

В нашем случае

Заметим, что наибольшего своего значения величина тока будет достигать, когда

т.е. при

где k = 1, 2, 3,...

• 
  
• (5.5)

Рисунок 5.3 - Прямоугольная рамка в поле

В этом случае интеграл будет равен площади заштрихованной трапеции, лежащей под отрезком касательной, проведенной к графику В(х) в точке х_с. (рисунок 5.4). Получим:

Рисунок 5.4 - Вычисление магнитного потока в случае малых размеров рамки

Зафиксируем некоторый момент времени t и рассмотрим в этот момент времени рамку с током I (xc, t) , определяемым по формуле(5.5). Так как рамка с током расположена в магнитном поле, то на каждый элемент проводника действует амперова сила

на всю рамку

Для случая с прямоугольной рамкой будет складываться из суммы сил на каждом из участков (сторон прямоугольника):

Так как , то .
В проекции на ось х, положив = 1, имеем:

При разгоне рамки ω будет уменьшаться, а вместе с ней будет уменьшаться и сила , т.е. мы будем иметь дело с установившимся движением. Рамка будет догонять поле, т.е. FA(x, t) - знакопостоянная функция. Так как на практике мы будем иметь дело с мелкодисперсными средами, то уравнение (5.5) необходимо преобразовать для случая, когда геометрические размеры рамки d и l малы по сравнению с полюсным шагом τ индуктора.

Для нашего случая, когда

 

Учитывая (5.5) в итоге получим:

• 
  
• (5.6)

Анализируя выражение (5.6), можно сделать вывод, что сила, действующая со стороны поля на рамку, в целом знакопостоянная функция и знак ее, т.е. направление проекции на ось х, зависит только от ω, которая в свою очередь, является относительной скоростью бегущего магнитного поля (относительно рамки). Тогда имеем:

где S - площадь рамки.

Для нашего случая

Тогда ток в рамке равен

• 
• (5.7)

Для нашего случая, когда

В случае бесконечно малой рамки зависимость для определения амперовой силы, действующей на рамку, можно записать в виде:

Для нашего случая с движущейся гармоникой зависимость для амперовой силы будет иметь вид:

Заметим, что (5.8) получено с учетом только площади рамки и без учета ее формы. Можно показать, что (5.8) можно получить так же для рамки (токопроводящего контура) произвольной формы. Для этого нужно воспользоваться тем свойством, что на контур с током, находящемся в неоднородном магнитном поле, действует результирующая сила, которая вычисляется по формуле

где - магнитный момент контура с током, вычисляемый по формуле

где S - площадь контура;
- вектор нормали к плоскости контура.

Для нашего случая, когда магнитное поле однокомпонентное, т.е. , а нормаль контура - всегда коллиниарна оси, геометрические размеры контура малы. И в рассматриваемый момент времени - не изменяется, получим:

Отсюда, учитывая (5.8), получим зависимость для результирующей амперовой силы, действующей на плоский проводящий контур произвольной формы в изменяющемся однокомпонентном магнитном поле:

• 
• (5.9)

содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации