4.3 Движение механической смеси по вибрирующему лотку

При воздействии вибрации в механических смесях происходят превращения, особенности которых обусловливаются интенсивностью вибрации. При амплитудных значениях ускорений, не превышающих ускорения свободного падения, смесь приобретает подвижность - псевдотекучесть. Такое состояние механической смеси принято называть состоянием псевдоожижения. В этом состоянии сцепление между частицами ослабевает, среда уплотняется. Наибольшее уплотнение достигается при амплитудных ускорениях, близких к ускорениям свободного падения. При дальнейшем увеличении интенсивности колебаний частицы среды начинают терять контакт с вибрирующим рабочим органом, уменьшаются и периодически нарушаются связи между частицами; среда переходит как бы в состояние кипения. Это состояние называется виброкипением, оно характеризуется разрыхлением среды и усиленной циркуляцией составляющих его частиц. В стадии виброкипения можно выделить два характерных состояния - сегрегации частиц и интенсивного перемещения. Второй режим виброкипения реализуется при более интенсивных режимах вибрации. Переход от состояния псевдоожижения к виброкипению осуществляется, как правило, при ускорениях, превышающих ускорение свободного падения. Критические ускорения и энергозатраты зависят от свойств среды, толщины слоя, сил сцепления между частицами и других факторов.

Диссипация энергии в сыпучих средах представляет собой весьма сложное явление. Оно возникает вследствие трения сухих или смоченных поверхностей частиц друг о друга. На практике сложные виды сопротивлений с достаточной для практических целей точностью обычно сводят к вязким и сухим сопротивлениям. Под воздействием вибрации в среде распространяются волны деформации. Вследствие инерционности, наличия сил трения и необратимых деформаций импульсы по мере передачи их от моно слоя к моно слою постепенно ослабевают, причем степень их ослабления определяется свойствами среды, а также характером и величиной силовых импульсов. Энергия колебательного движения источника вибрации в процессе прохождения волны затрачивается на ускорение обрабатываемой среды и восполнение потерь при необратимых деформациях. В режиме подбрасывания нижний моно слой, следуя за лотком, начнет обратное движение, хотя верхние моно слои могут продолжать перемещаться вверх. В этот момент начинается разрыхление среды. Предполагается, что слои сыпучего материала плоские, а коэффициент бокового давления не зависит от того, происходит в рассматриваемой области послойное движение или нет.

С целью реализации технологии разделения механических смесей по патенту /27/ исследуем послойное движение сыпучего материала для разделения его на магнитную и минеральную фракции в бегущем магнитном поле. Это позволит на стадии проектирования линии селекции оценивать допустимость указанных предложений и, следовательно, применимость полученных в работе результатов. В дальнейшем сыпучий материал рассматривается как непрерывная среда.

Уравнения движения в векторной записи в переменных Эйлера и уравнение неразрывности механической среды имеют следующий вид

• 
• (4.17)

• 
• (4.18)

где тензор напряжений;
- вектор скорости;
вектор массовой силы, отнесенный к единице массы;
плотность среды.

Систему уравнений (4.17) и (4.18) следует конкретизировать. Исследуется поведение механической смеси, находящейся в лотке, который колеблется и длина которого значительно больше остальных размеров. Вследствие этого компоненты вектора скорости и тензора напряжений можно принять независящими от координаты x. Так как рассматривается продольное вибротранспортирование, можно предположить, что компонента скорости в направлении оси z равна нулю и частицы груза не перемещаются в поперечном направлении. Кроме того, будем полагать, что объем сыпучего материала при пластических деформациях остается постоянным, т.е.

С учетом указанных предположений система (4.17) , (4.18) принимает вид:

• 
  
  
  
• (4.19)

где закон движения лотка;
угол наклона лотка к горизонту.

Таким образом, имеем систему трех уравнений с 6 неизвестными. Недостающие зависимости необходимо определять при рассмотрении физических свойств смеси. Согласно модели Жислена де Йонга, разработанной для случая плоской деформации, в пластической зоне объем сыпучего материала при деформациях остается постоянным, а главные оси тензоров напряжений и скоростей деформаций образуют между собой угол μ,который можно определить из выражения

• 
• (4.20)

где ω - скорость вращения элемента объема как твердого тела;
γ - интенсивность скоростей деформации;
τ - интенсивность касательных напряжений;
ρ - гидростатическое давление.

Будем считать, что угол внутреннего трения не зависит от гидростатического давления, т.е. сыпучая среда идеальна. В таком случае:

• 
• (4.21)

где Ф - угол внутреннего трения.

Далее следует найти величины ω и γ, необходимые для определения угла μ. Полагая, что деформация среды в пластической зоне происходит за счет сдвигов вдоль поверхностей скольжения, для касательных напряжений будем иметь что соответствует силе трения движения при проскальзывании твердых элементов, k - величина сцепления. Так как идеальная сыпучая среда обладает сухим внутренним трением, сопоставляя обычные явления трения, можно предполагать, что на поверхностях скольжения направление скорости деформаций сдвига совпадает с направлением касательных напряжений. Таким образом, в любой точке пластической зоны оси тензоров скоростей деформаций и напряжений совпадают, а остальные образуют между собой угол μ, рассчитываемый по формуле (4.20). Для определения γ и ω составим тензор градиентов скоростей. Симметрическая часть его

• 
• (4.22)

представляет собой тензор скоростей деформаций. Отсюда нетрудно определить главные скорости деформаций:

• 
• (4.23)

Следовательно, максимальная скорость деформаций сдвига на поверхностях скольжения

• 
• (4.24)

и в любой точке поверхность максимальной скорости деформаций сдвига параллельна оси x и наклонена к плоскости xz под углом φ, причем

• 
• (4.25)

Назовем слоем совокупность частиц сыпучей среды с одинаковой скоростью движения, тогда поверхности максимальной скорости деформаций сдвига одновременно являются поверхностями, отделяющими слои друг от друга. Введем систему криволинейных координат xξθ так, чтобы в любой точке направление было перпендикулярным ξ поверхности максимальной скорости деформаций сдвига. Тогда

Следовательно, не зависит от и угол φ одновременно является углом наклона слоя. Направления и совпадают с направлениями оси и биссектрисы угла между осями ξ и x соответственно, так как в любой точке пластической зоны картина деформаций представляет собой чистый сдвиг. Для определения угловой скорости вращения элемента объема составим антисимметрическую часть тензора градиентов скоростей:

• 
• (4.26)

Отсюда находим, что компоненты угловой скорости элемента объема равны

и, следовательно, угловая скорость элемента объема

Угол между вектором находящимся в плоскости yz , и осью y определится как

Следовательно, т.е. вектор направлен вдоль оси Очевидно, что если т.е. происходит прямое скольжение, то вектор направлен противоположно оси и наоборот. Так как формула (4.20) получена при рассмотрении плоской задачи, то в этой формуле ω - величина алгебраическая. Решаемую задачу можно рассматривать как плоскую, если перейти на систему координат так как

Поэтому в формуле (4.20) подставляем ω со знаком "+" при (обратное скольжение) и со знаком "-" при (прямое скольжение). После подстановки полученных значений γ и ω в формулу (4.20) окончательно имеем:
при прямом скольжении

 

при обратном скольжении

Угол μ отсчитывается от оси к против движения часовой стрелки. Нетрудно видеть, что как при прямом, так и обратном скольжении одна из поверхностей скольжения совпадает с поверхностью максимальной скорости деформаций сдвига, которая одновременно отделяет смежные слои. Следовательно, при картине скоростей, рассматриваемой в данной задаче, модель Жислена де Йонга совпадает с моделью пластической зоны сыпучей среды. Теперь уже имеется достаточно физических зависимостей, для того чтобы составить недостающие уравнения для определения скорости ν_x и компонент тензора . Во-первых, поскольку направление главного напряжения совпадает с направлением , а последнее - с осью , то

• 
• (4.27)

Во-вторых, является поверхностью скольжения, поэтому

• 
• (4.28)

где f=tgФ - коэффициент внутреннего трения.

Знак "+" соответствует в выражении (4.28) обратному скольжению, "-" - прямому.

Используя формулы перехода для компонент тензора напряжений при повороте осей, зависимости (4.27) и (4.28) можно переписать в следующем виде:

• 
  
  
• (4.29)

Таким образом, уравнения (4.19), (4.25) и (4.29) совместно образуют систему семи равнений с 7 неизвестными: Составляющую напряжений не входящую в эту систему уравнений, можно определить из условия предельного состояния

где

Следовательно, имеется возможность полностью определить напряженное состояние и скорость движения сыпучей среды при продольном вибротранспортировании. Однако решение приведенной системы уравнений будет связано, очевидно, со значительными трудностями. Упомянутая выше система уравнений значительно упрощается, если предположить, что составляющая напряжения

• 
  
  
• (4.30)

Это предположение можно обосновать следующими доводами. Во-первых, на боковых стенках лотка (сила трения направлена всегда противоположно движению), на средней плоскости (ввиду симметрии) и на верхней поверхности как на свободной. Во-вторых, исходя из того, что сила трения всегда направлена противоположно относительной скорости, можно предположить, что в любой плоскости касательные напряжения направлены противоположно скорости деформаций сдвига, т.е. В таком случае приведенная выше система уравнений сводится к следующему:

• 
  
• (4.31)

Из первых двух уравнений системы (4.32) следует:

• 
• (4.33)

Верхний знак соответствует обратному, нижний - прямому скольжению.

Далее, если взять производную третьего уравнения (4.32) по времени и затем подставить в него соответствующие производные четвертого уравнения по y и z, получим:

• 
• (4.34)

Угол φ не является функцией времени, так как касательные напряжения и не зависят от скорости деформаций сдвига.

Полученные зависимости (4.33) и (4.34) можно записать следующим образом:

• 
• (4.35)

где вектор - суммарное касательное напряжение в плоскости yz. Условие параллельности векторов и grad div следует из пропорциональности их составляющих.

Дивергенцию вектора можно определить из выражения

Если ввести обозначение

• 
• (4.36)

и перейти к новым безразмерным переменным

• 
• (4.37)

то, вместо уравнения (4.34), будем иметь следующую систему двух уравнений первого порядка:

• 
• (4.38)

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

• 
• (4.39)

или после раскрытия этого определителя:

• 
• (4.40)

Отсюда:

• 
• (4.41)

т.е. система (4.38) имеет одно семейство действительных характеристик и, следовательно, является системой параболического типа. К тому же характеристики системы (4.38) совпадают с линиями пересечения поверхностей скольжения плоскостью yz. Если перейти на систему координат (координатные линии совпадают с характеристиками), то система (4.38) приобретает довольно простой вид:

• 
• (4.42)

Следовательно, вдоль характеристики D=const. Это естественно, так как, согласно (4.36) и (4.32), D представляет собой ускорение элементарного объема, возникшее вследствие действия сил внутреннего трения. Поскольку характеристика одновременно является линией, представляющей форму слоя, то вдоль нее ускорение и, следовательно, D остается постоянными.

Для решения системы (4.42) необходимо, прежде всего, определить граничные условия. Так как она является системой параболического типа, граничные условия должны быть заданы не по замкнутому контуру в плоскости yz,а на дуге, не являющейся характеристической и не касающейся характеристик.

В рассматриваемой задаче невозможно найти линию, на которой было бы известно значение D. Можно показать, что на верхней границе D=1, однако эта граница одновременно является и характеристикой. Поэтому для решения задачи следует задать значения φ на двух границах.

Нетрудно установить, что на линии z=0 угол φ=0 Это следует из симметрии задачи. Остается определить значения φ на боковой стенке. Для этого следует рассмотреть напряженное состояние у стенки лотка. Направления касательных напряжений, при прямом и обратном скольжении противоположны, но угол φ не меняется.

Из (4.28) получим, что

• 
• (4.43)

С другой стороны,

• 
• (4.44)

так как если то нормальные напряжения одинаковы на всех площадках, параллельных оси x. Через ƒ₁ обозначен коэффициент трения среды о стенки лотка. Следовательно, непосредственно можно найти, что

• 
• (4.45)

и

• 
• (4.46)

где через φ₀ обозначено значение угла наклона слоя у стенки лотка. Теперь для решения системы можно предложить следующий графический способ. Первое уравнение системы (4.42) можно приближенно переписать так:

• 
• (4.47)

Используя эту зависимость, можно постепенно построить характеристики, начиная с оси симметрии z=0 на которой исходное значение φ=0. Величину необходимо выбирать так, чтобы построенная характеристика выполняла граничное условие (4.46) на стенке лотка. Отношение коэффициентов трения Следует отметить, что глубина и вообще существование послойного движения, возникшего вследствие бокового трения, зависит от относительной высоты лотка H/B.

Как следует из четвертого уравнения системы (4.32) и зависимости (4.36), ускорение каждого слоя можно записать как

• 
• (4.48)

где верхний знак соответствует прямому скольжению. Следовательно, трение среды о стенки лотка в принципе (если не считать искривления слоев) эквивалентно увеличению коэффициента внутреннего трения.

В работе /11/ было получено выражение для ускорения элементарного слоя при предположении, что слои плоские:

• 
• (4.49)

где B -ширина лотка. Используя (4.37) и подставив в (4.49), при значении коэффициента бокового давления n=1, это выражение можно преобразовать к виду:

• 
• (4.50)

Нетрудно заметить, что среднее ускорение пластической зоны, подсчитанное с использованием выражений (4.48) и (4.50), будет иметь близкие значения, и поэтому для упрощения выкладок допустим подход, использованный в работе /11/, если для пластической зоны брать n=1. В заключение следует отметить, что при

• 
• (4.51)

линия стенки лотка становится огибающей семейства характеристик системы (4.49) и, следовательно, линией разрыва. Очевидно, разрыв сплошности среды должен произойти и при

• 
• (4.52)

Если выполняется условие (4.51) или (4.52), то сыпучий материал около стенок, а также дна лотка уже нельзя рассматривать как сплошную среду, и, следовательно, изложенная выше теория неприменима. В работе /12/ на основе экспериментального исследования послойного движения при коэффициенте трения сыпучего материала о дно лотка предложено ввести динамический коэффициент трения, изменяющийся от ƒ₁ до ƒ линейно при удалении от дна лотка. Такой феноменологический переменный коэффициент внутреннего трения можно подставить в систему (4.32) и решить ее, однако это уже требует самостоятельного исследования.

Для оценки эффективности выделения тонкой металлической магнитной фракции в бегущем магнитном поле и апробирования результатов теоретических обобщений по управляемому движению смеси на лотке (позиции 4.2, 4.3) проведем экспериментальные исследования. Исследования проводились на одно и двухкомпонентных смесях, состоящих из песка и магнетита класса: 0,1-0,2; 0,2-0,3; 0,3-0,5 мм. Колебания лотка осуществлялись посредством электродинамической головки фирмы "РОБОТРОН", изменялся гранулометрический состав смесей, угол наклона лотка, частота колебаний, амплитуда, коэффициент трения смеси о подложку.

Результаты исследования по определению минимального "угла движения" (текучести) в зависимости от угла наклона динамической головки представлены в таблице 4.4

Таблица 4.4 - Движение механической смеси в зависимости от угла наклона головки

класс	угол	Динамическая головка
		Включена	Выключена
0,1-0,2	10°	течение	на месте
0,2-0,3	10°	течение	на месте
0,3-0,5	10°	течение	на месте
0,1-0,2	15°	течение	на месте
0,2-0,3	15°	течение	на месте
0,3-0,5	15°	течение	на месте
0,1-0,2	20°	скатывается
0,1-0,2	20°	скатывается
0,1-0,2	20°	скатывается

Дальнейшие исследования проводились при фиксированном угле наклона лотка-100.

Результаты исследования движения механической смеси по лотку в зависимости от коэффициента трения песка о подложку представлены на рисунках 4.16-4.18, а на рисунках 4.19-4.22 -магнетита.

Песок

Рисунок 4.16 - На алюминиевой подложке

Рисунок 4.17 - На бумажной подложке

Рисунок 4.18 - На резиновой подложке

Магнетит

Рисунок 4.19 - На полимерной подложке

Рисунок 4.20 - На алюминиевой подложке

Рисунок 4.21 - На бумажной подложке

Рисунок 4.22 - На резиновой подложке

На рисунках обозначено: V1, V2, V3, соответственно, классы- 0,1-0,2; 0,2-0,3; 0,3-0,5.

Таким образом, используя промышленную частоту питания, минимальный угол наклона лотка к горизонту, обеспечивающий движение смеси, должен составлять не менее десяти градусов. Оценку скорости "течения" смеси по лотку в первом приближении можно рекомендовать производить по зависимости

Для более четкого представления процесса течения гранулированных материалов по наклонной плоскости, рассмотрим один из видов механических смесей. Смесь широко распространена среди минералов и представляет собой зерна крупностью от 0,14 до 1,3 мм; образование этой смеси происходит в результате естественного разрушения массивных горных пород (природные пески) и путем дробления и измельчения до крупности, не превышающей 5 мм. Целью данного исследования является нахождение условий, при которых происходит течение любых видов механических смесей. Для решения этой проблемы будем считать, что однородность - это абсолютно идеальная форма смеси, а полученные для нее закономерности воспринимать как оптимальный вариант при сравнительном анализе. Однородной называют смесь, зерновая структура и физические свойства которой остаются одинаковыми в любом элементарном ее объёме. Любой материал в исходном состоянии является неоднородным, то есть состоит из различных по физическим и химическим свойствам фаз, отделенных друг от друга поверхностями, на которых скачкообразно меняется одно или несколько свойств механической смеси (состав, плотность, электропроводность и т.д.). Как правило, такие материалы имеют наибольшую плотность по сравнению с однородными. Это объясняется расположением мелких зерен в пустотах между крупными, следовательно, объем пустот становится меньше, а сама смесь - плотнее. Для качественной и количественной оценки результатов исследований исходный материал проклассифицируем последовательным рассевом на классы.

Для проведения экспериментов были выбраны 6 компонентов, классификация которых проводилась на ситах с размерами проходных отверстий - 1,7; 0,9; 0,8; 0,55; 0,4; 0,25. Исходные (исследуемые) смеси представлены в таблице 4.5. Номера компонент отображают возрастание размера частиц.

Таблица 4.5 - Однородные смеси из компонент песка

	Компонент 1	Компонент 6
Смесь 1	90%	10%
Смесь 2	80%	20%
Смесь 3	70%	30%
Смесь 4	60%	40%
Смесь 5	50%	50%
Смесь 6	40%	60%
Смесь 7	30%	70%
Смесь 8	20%	80%
Смесь 9	10%	90%

Исследовалось течение, как однородных навесок, так и композиций из разных фракций. Угол наклона лотков выбирали таким образом, чтобы определить оптимальный режим течения, при котором обеспечивается равномерное циклическое перемешивание без зависаний. На начальном этапе проводили исследования зависимости времени течения от угла наклона треугольного и прямоугольного лотков. Результаты эксперимента представлены на рисунках 4.23-4.26.

Рисунок 4.23 - Зависимость времени истечения песка от угла наклона лотка

Рисунок 4.24 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона треугольного лотка

Рисунок 4.25 - Зависимость времени истечения песка от угла наклона прямоугольного лотка

Рисунок 4.26 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона прямоугольного лотка

Определим далее зависимость времени течения от угла наклона сторон треугольного лотка. Результаты представлены на рисунках 4.27-4.28.

Рисунок 4.27 - Зависимость времени истечения песка от угла наклона сторон лотка

Рисунок 4.28 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона сторон треугольного лотка

Таким образом, установлено (рисунки 4.27-4.28), что с увеличением угла наклона сторон треугольного лотка больше 20 градусов, время течения уменьшается и увеличивается способность образования зависаний. С 10 до 15 градусов наклона время течения минимальное. Поэтому для проведения дальнейших экспериментов примем угол наклона сторон треугольного лотка β = 15 градусов.

Из имеющихся компонент песка составлены 9 однородных смесей, которые исследовались на время течения при различных углах наклона треугольного и прямоугольного лотков. Результаты представлены на рисунке 4.29.

Рисунок 4.29 - Зависимости времени истечения смеси компонентов песка от угла наклона треугольного лотка

Аналогичным путем получены 9 однородных смесей из компонент магнетита, а результаты исследования представлены на рисунках 4.30-4.32.

Рисунок 4.30 - Зависимость времени истечения песка от угла наклона сторон лотка

Рисунок 4.31 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона сторон треугольного лотка

Рисунок 4.32 - Зависимость времени истечения смеси компонентов песка от угла наклона треугольного лотка

	Компонент 1	Компонент 6
Смесь 10	90%	10%
Смесь 11	80%	20%
Смесь 12	70%	30%
Смесь 13	60%	40%
Смесь 14	50%	50%
Смесь 15	40%	60%
Смесь 16	30%	70%
Смесь 17	20%	80%
Смесь 18	10%	90%

Рисунок 4.33 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона сторон треугольного лотка для компонентов

Рисунок 4.34 - Зависимость времени истечения магнетита от угла наклона сторон треугольного лотка для компонентов

Рисунок 4.35 - Зависимость времени истечения смеси компонентов песка от угла наклона треугольного лотка

В результате исследований установлено, что время течения уменьшается с увеличением угла наклона лотков, но для обеспечения циклического перемешивания необходимо, чтобы в промышленной установке угол наклона у треугольного лотка был 36 градусов, а у прямоугольного - 30 градусов.

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации