1.2 Установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам

Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является ламинарное движение по трубе произвольного сечения, при котором линии тока - прямые линии параллельные оси трубы. Отвлекаясь от действия объемных сил и считая ρ=сonst и ρ=const, получим, согласно уравнениям Стокса, систему уравнений:

• 
• (1.43)

Из последнего уравнения видно, что Vx представляет функцию только от x и y, а из первых двух - что р- функция только z. И система равенств(1.43) сводится к одному:

• 
• (1.44)

Введем для дальнейшего рассмотрения обозначение:

• ,

где Δр - постоянное вдоль трубы падение давления на произвольно выбранном участке длины l. Перепад давления Δр на участке трубы длины l либо задается непосредственно, либо может быть выражен через другие заданные величины, а именно, секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению и максимальную скорости.

Последнее уравнение сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в плоскости Oxy. Рассмотрим движение жидкости в "плоском" длинном лотке, у которого ширина днища во много раз больше высоты лотка. Благодаря наличию свободной поверхности, вдоль которой давление постоянно, продольного перепада давления в потоке не будет, т.е. dp/dz=0; поперечный перепад давления будет гидростатическим, одинаковым во всех сечениях.

Если лоток наклонен под углом α к горизонту, то роль объемной силы будет играть вектор ускорения силы тяжести. Проекция его на ось Oz, направленная по потоку, в данном случае под углом к горизонту, будет равна Fz=g sinα.

Уравнение движения жидкости в направлении оси Oz будет иметь вид:

• 
• (1.45)

где γ=ρg. Граничные условия будут определяться "прилипанием" жидкости к днищу лотка и отсутствием трения на свободной поверхности; обозначая глубину потока через h, получим граничные условия:

Vz=0 при y=0, при у=h

Если положить Δр/l=ρgsinα=γsinα, то свободное движение в лотке будет записано как:

• 
• (1.46)

Объемный секундный расход определится по формуле

• ,
• (1.47)

Средняя скорость

• ,
• (1.48)

Максимальная скорость

• ,
• (1.49)

предыдущий раздел | содержание | следующий раздел