1.1 Моделирование движения жидкости

В гидромеханике принято использовать единую модель жидкости. Эта модель, т. е. условная жидкость, рассматривается как сплошная деформируемая среда, любой бесконечно малый объем которой, характеризуется теми же свойствами, что и объем конечных размеров /1-4/.

Введение понятия сплошной среды позволяет считать все характерные величины, описывающие ее свойства, особенности движения и действующие в ней силы непрерывными функциями координат пространства, в котором находится жидкость. Физические свойства жидкости и параметры ее течения описывают различными математическими объектами: скалярами, векторами, тензорами. Основной характеристикой жидкости является ее плотность ρ. В пространстве, занятом жидкостью, образуется скалярное поле плотности. Жидкость, величина плотности которой в различных точках разная, т. е. ρ=f(x,y,z), называется неоднородной. Неоднородность поля плотности может быть вызвана различным содержанием примесей в воде, различием температуры в отдельных областях жидкости и т. п.

Наряду с плотностью, существенной характеристикой жидкости является вязкость. Однако, если плотность необходимо учитывать при изучении всех течений жидкости, то во многих задачах достаточно полное представление о характере течения можно получить без влияния на его структуру сил вязкости. Модель жидкости, при исследовании течений которой не учитывают влияние вязкости, называют идеальной жидкостью. Модель жидкости, при исследованиях движения которой учитывают влияние, оказываемое на него вязкостью и возникающие при этом силы трения, называют вязкой. В жидкости, как правило, исследуют действие только распределенных сил. Для классификации сил, действующих в жидкости, выделим в ней произвольный объем V (рис.1.1), ограниченный поверхностью S. Внутренние силы, действующие между выделенной и отброшенной частями жидкости, перейдут в категорию внешних поверхностных сил, распределенных по поверхности S. Кроме них на любую точку объема V действуют массовые силы.

 

• 
• Рисунок 1.1

 

Пусть Δƒ - массовая сила, приложенная к жидкой частице с объемом ΔV и массой Δm=ρΔV. Тогда плотность массовых сил определится по формуле

• 
• (1.1)

В общем случае является функцией радиус-вектора точки r и времени t.

В ряде случаев массовые силы потенциальны. Обозначим через U потенциал напряжения массовых сил. При этом вектор напряжения можно определить как градиент скалярной функции U

• =gradU
• (1.2)

Если ΔPn - поверхностная сила, приложенная к площадке ΔS с внешней нормалью n, направленная под некоторым углом к внешней нормали, то вектор напряжения поверхностных сил в данной точке поверхности равен

• 
• (1.3)

Связь между массовыми силами и давлениями в жидкости, находящейся в равновесии, описывается уравнением Шлихтинга /5/

• 

Используя понятие градиента давления, получим:

• 
• (1.4)

Условия интегрируемости уравнения (1.4) rot = Ô, следовательно, поле напряжения массовых сил обладает потенциалом U

• =gradU
• (1.5)

Таким образом, равновесие несжимаемой жидкости возможно только в случае действия на нее потенциальных массовых сил. Общий интеграл уравнения равновесия:

• P-ρU=const
• (1.6)

Чтобы описать движение жидкости, необходимо задать в каждой точке ее некоторые свойства. Например, жидкость в разных местах движется с разными скоростями. Следовательно, чтобы определить характер потока, необходимо в любой момент времени в каждой точке задать три компоненты скорости. Также от точки к точке может меняться плотность жидкости. Если жидкость существенно несжимаема ρ=соnst , то уравнение неразрывности будет иметь вид

• 
• (1.7)

Следующее уравнение можно записать, используя закон Ньютона:

• 
• (1.8)

или в проекциях на оси координат:

• 
• (1.9)

В уравнениях (1.9) считаются известными ρ и проекции вектора напряжения массовых сил Fx , Fy, Fz. Искомыми являются три проекции скорости Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t); и давление P(x,y,z,t). Чтобы привести в соответствие число уравнений и число неизвестных, следует добавить уравнение неразрывности жидкости (1.7). Решение замкнутой системы уравнений нужно подчинить начальным и граничным условиям. Начальные условия накладываются на поток в начальный момент времени t0, задавая поле скоростей и давлений: V=V(x,y,z,t0); P=P(x,y,z,t0). Кинематические и динамические граничные условия будем учитывать следующим образом. Кинематические граничные условия в случае абсолютного движения тела в жидкости со скоростью V0 вблизи твердой границы S , V=0 при х=0 (рис.1.2).

• 
• Рисунок 1.2

Граничное условие на поверхности тела:
V_on- нормальная составляющая проекции скорости произвольной точки поверхности тела;
Vn- нормальная составляющая скорости частицы жидкости, прилегающей в данный момент к этой части поверхности тела. На поверхности тела должно соблюдаться условие непротекания: V_0n=Vn Если стенка не движется, то вдоль нее Vn=0. Кинематические граничные условия при обтекании неподвижного тела со скоростью V₀=V∞ (рисунок 1.2¹.)

• 
• Рисунок 1.2¹

Граничное условие на бесконечности V=V#8734 . На поверхности S Vn=0, т. е. при обтекании тела потоком жидкости нормальная составляющая скорости жидкости равна нулю, а касательная составляющая S равна полной скорости. Динамические граничные условия накладывают ограничения на давления, действующие на границах потока или в бесконечности. На границе раздела воды и воздуха давление постоянно, следовательно, это условие представится в виде: Pa=P, т.е. давление на свободной поверхности равно атмосферному. В общем случае уравнения движения жидкости не интегрируются. Однако, для частных случаев при принятии дополнительных допущений получение непосредственной связи между скоростями и давлениями возможно. Первое допущение: массовые силы имеют потенциал

• =gradU
• (1.10)

Используя уравнение Громеко, имеем:

• 
• (1.11)

Переписав его с учетом допущения (1.10) и перегруппировав члены, получим:

• 
• (1.12)

Рассмотрим случай безвихревого движения, т.е. , тогда

• 
• (1.13)

Выражение в скобках есть интеграл Лагранжа.

• 
• (1.14)

Рассмотрим частный случай, полагая движение жидкости установившимся.

• 

Так как потенциал и скорости от времени не зависят, то из (1.14), получим:

• 

Рассмотрим случай установившегося движения. Интегрирование производится вдоль линии тока, местное ускорение равно нулю. Уравнение Громеко запишется в виде:

• 
• (1.15)

Для установившегося потока линии тока представляют реальное движение. Умножим скалярно обе части последнего уравнения на элемент линии тока, совпадающий по направлению с вектором скорости V.

Тогда :

• ,
• тогда как

Полученное уравнение (1.16) - интеграл Бернулли. Константа С постоянна только вдоль данной линии тока. При исследовании движения вязкой жидкости будем пользоваться уравнением Эйлера /3/

• ,
• (1.17)

Для идеальной жидкости последнее слагаемое отбрасывают. Кроме того, считая жидкость несжимаемой, получаем дополнительное уравнение

• ,
• (1.18)

Это приближение часто оказывается приемлемым, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях нельзя пренебрегать внутренним трением, называемым вязкостью. Кроме того, мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Следовательно, для расчета течений таких жидкостей и гидродинамических реакций при движении в них тел необходимо установить связь между напряжениями внутренних сил и скоростями течения. Используя уравнения движения жидкости в напряжениях, можно в дальнейшем получить уравнения движения рассматриваемой жидкости. Установление такой связи является одной из задач реологии, разрабатывающей модели вязких жидкостей с различными свойствами. Результаты экспериментов с течениями вязких жидкостей свидетельствуют, что возникающие в них касательные напряжения являются функциями относительных скоростей деформации сдвига жидких частиц, т.е. в рассматриваемом сдвиговом течении τ=f(θz). Простейший вид этой зависимости был предложен Ньютоном:

• 
• (1.19)

Множитель пропорциональности μ- динамическая вязкость. Как и плотность, она зависит от рода жидкости и температуры. Кинематическая вязкость связана с динамической вязкостью соотношением

• ν=μ/ρ
• (1.20)

Из формулы Ньютона видно, что если при движении жидкости ее частицы не испытывают деформации, т.е. она движется как твердое тело, то касательные напряжения равны нулю. Однако известен ряд жидкостей, для которых эта формула несправедлива. Это так называемые неньютоновские жидкости. Для вязкопластических жидкостей

• 
• (1.21)

где τ₀ - начальное касательное напряжение, представляющее предел текучести жидкости и характеризующее ее пластические свойства; μ₀ - динамическая вязкость жидкости. Эта зависимость характерна для масляных красок, глинистых растворов. Для псевдопластических жидкостей она будет иметь вид:

• 
• (1.22)

где μ* - кажущаяся вязкость. Она характерна для таких жидкостей, как суспензии, растворы каучука, жидкого мыла и др. Жидкости, у которых кажущаяся вязкость μ* возрастает с увеличением скорости сдвига, называются дилатантными. К ним относятся, например, водные пульпы песка, водные растворы двуокиси титана и др.

• 
• (1.23)

где k, n - постоянные.

Для получения уравнения движения вязких ньютоновских жидкостей используют уравнение гидродинамики в напряжениях, записав его в проекциях на оси координат:

• 
• (1.24)

В этих уравнениях заданы проекции напряжения массовых сил Fx, Fy, Fz и для несжимаемой жидкости плотность ρ. К трем уравнениям, в которые входят девять неизвестных величин, присоединяется уравнение неразрывности:

• 
• (1.25)

Полученная система уравнений незамкнута. Чтобы найти неизвестные, необходимо составить дополнительные зависимости, связывающие возникающие в жидкости касательные и нормальные напряжения с ее скоростями. При этом надо учесть, что вязкость приводит не только к возникновению касательных напряжений, но и к изменению нормальных напряжений по сравнению с невязкой жидкостью.

В результате напряжения можно представить в виде:

• 

• 
• (1.26)

Первое слагаемое в выражениях для нормальных напряжений - давление в вязкой жидкости, второе слагаемое учитывает влияние вязкости. Среднее арифметическое нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным направлениям, учитывая уравнение неразрывности, будет

• 

• 
• (1.27)

Для получения уравнения движения вязкой жидкости подставим значения нормальных и касательных напряжений в уравнение (1.17):

• 

Полученное уравнение является уравнением Навье-Стокса. Это уравнение отличается от уравнения Эйлера движения невязкой жидкости членом, характеризующим силы вязкости.

Уравнение Навье - Стокса - нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, нелинейность которого обусловлена членом с конвективным ускорением. Его решение следует подчинить начальным и граничным условиям. Все соображения о начальных условиях для течения невязкой жидкости сохраняют свою силу и для вязкой жидкости. Принципиально новым является лишь изменение граничного условия на твердых границах потока.

Рассмотрим граничное условие на неподвижном теле при обтекании его потоком вязкой жидкости. Наряду с условием непротекания и безотрывного обтекания (Vn=0), на поверхности, при y=0 (рис.1.2), выполняется условие прилипания жидкости, т.е. касательная составляющая скорости Vx=Vτ равна нулю.

Многочисленными физическими измерениями профиля скорости около стенки установлено, что скорость частиц жидкости на стенке стремится к нулю. Наименьшее отстояние от стенки при этих опытах составляло ≈ 0,05мм. Выполнение условия прилипания не зависит от материала поверхности и степени чистоты его обработки. Оно одинаково выполняется при обтекании поверхностей как смачиваемых, так и не смачиваемых жидкостью.

В случае движения тела в жидкости также соблюдается условие прилипания. Частицы жидкости, прилегающей к движущейся верхней стенке, увлекаются ей и имеют скорость Vx=V₀.

Рассмотрим некоторые общие свойства уравнений движения вязкой жидкости. Считаем массовые силы потенциальными- =gradU

Применим к левой части уравнения Навье-Стокса преобразование Громеко, объединяя входящие в знак градиента члены, тогда получим:

• 
• (1.28)

Отметим основное свойство движений вязкой жидкости, текущей вблизи от ограничивающих поверхностей (стенок). Поскольку вблизи стенок в области, где возникают касательные напряжения, существует градиент скорости по нормали к стенке, то угловая скорость вращения частиц отлична от нуля. Таким образом, течения вязкой жидкости в районе, где существует влияние ограничивающих поверхностей, являются вихревыми. Отсюда следует, что для описания движений вязкой жидкости в этих областях нельзя ввести потенциал скорости φ. Не линейность уравнений Навье-Стокса делает невозможным применение принципа суперпозиции. В случае вязкой жидкости на стенке появляется граничное условие прилипания, отсутствующее на линии тока. Из этого следует, что для вязкой жидкости замена произвольной линии тока твердой стенкой является неправомерной. На линии тока имеем

• 

Левая часть представляет собой дифференциал удельной механической энергии. В случае невязкой жидкости ν(ΔVdr)=0 и

• 
• (1.29)

т.е. соблюдается закон сохранения удельной механической энергии вдоль линии тока. В вязкой жидкости (1.28) член ν(ΔVdr), характеризующий удельную работу сил вязкости на перемещении dr, отличен от нуля. Поскольку силы вязкости направлены против движения, то ν(ΔVdr)=-dA_В

• 
• (1.30)

Следовательно, изменение механической энергии вдоль линии тока численно равно работе вязкостных сил. Интегрируя это выражение вдоль линии тока, от точки 1 до точки 2, и обозначая элементы течения соответствующими индексами, находим:

• 
• (1.31)

где А_В=А_В1-А_В2 - работа сил вязкости при перемещении из положения 1 в положение 2.

Величина А_В является диссипируемой энергией. Вследствие большой теплоемкости воды, повышение ее температуры, вызываемое диссипацией энергии, ничтожно и при обтекании тел составляет десятые доли градуса. Теоретически определить величину А_В затруднительно, так как невозможно получить интегралы уравнений движения вязкой жидкости, аналогичные известным для потоков невязкой жидкости. До настоящего времени не разработаны общие методы решения уравнений Навье - Стокса. Значительные трудности вызывает необходимость удовлетворять одновременно двум граничным условиям на поверхности тела: непротекания Vn=0 и прилипания Vτ=0. Точные решения этих уравнений получены только для простейших частных случаев. К ним относится ряд решений, для которых, исходя из вида границ потока, можно заранее предсказать форму линий тока, например, течения между параллельными стенками в цилиндрических трубах.

При обтекании тел, когда вид линий тока заранее неизвестен, получить теоретические решения удается лишь в двух предельных случаях - при малых и больших скоростях обтекания. В этих случаях возможны упрощения.

По Стоксу, путь упрощения при малых скоростях состоит в пренебрежении конвективной частью ускорения в потоке. При этом из уравнения Навье - Стокса выпадают все нелинейные члены, и оно приобретает вид:

• 
• (1.32)

При установившихся течениях имеем

• 
• (1.33)

Для практически наиболее важного второго случая приближенного решения уравнения Навье-Стокса исходным для их упрощений является то, что силы вязкости в наибольшей мере проявляют себя около твердых границ потока, а на некотором удалении от этих границ они становятся пренебрежимо малыми. Наблюдение потоков вязкой жидкости показывает, что около ламинарный режим течения сохраняется лишь при сравнительно небольших числах Рейнольдса и с их увеличением переходит в турбулентный режим. Число Рейнольдса определяется по формуле /3/:

• Re=V₀L/ν
• (1.34)

При турбулентном течении величина скорости в каждой точке пространства претерпевает непрерывные изменения, что свидетельствует о беспорядочном перемешивании масс жидкости; в процессе этого перемешивания отдельные частицы движутся по различным весьма сложным траекториям, однако в среднем направление движения отдельных частиц совпадает с направлением потока. В длинной прямой трубе с постоянным поперечным сечением каждая частица жидкости при небольших числах Рейнольдса движется по прямолинейной траектории; течение происходит упорядоченным образом в виде движущихся один относительно другого слоев (ламинарное течение). Однако при возрастании числа Рейнольдса это упорядоченное течение почти внезапно переходит в неупорядоченное, с сильным перемешиванием в поперечном направлении (турбулентное течение). При турбулентном течении на главное движение жидкости накладываются поперечные движения. В результате такого перемешивания происходит обмен количеством движения в поперечном направлении. Переход от ламинарного режима к турбулентному связан с потерей устойчивости ламинарного течения, и поэтому начало этого перехода в большей степени зависит как от структуры потока, т.е. закона распределения скоростей и давлений, так и от интенсивности и частоты его возмущений, которые вызывают турбулизацию потока. Искусственно устраняя возможные причины возникновения возмущений, можно затянуть переход к турбулентному течению до сравнительно высоких скоростей. Вместе с тем, при небольших скоростях течение устойчиво по отношению к возмущениям. Одним из важнейших критериев перехода от ламинарного к турбулентному течению является число Рейнольдса. Число Рейнольдса, при котором происходит потеря устойчивости течения, т.е. переход к турбулентному режиму, называется критическим.

Математическая сложность уравнений Навье-Стокса в большинстве случаев не позволяет непосредственно получить необходимые решения. Дополнительные сложности возникают, когда течение вязкой жидкости становится турбулентным. Для преодоления этих трудностей используются различные методы упрощения, например, введение понятия одномерных течений.

Большое распространение при изучении течений в трубах, каналах и т.п. имеют так называемые плавно изменяющиеся течения. Рассмотрим некоторые свойства таких течений, вид линий тока которых повторяет форму границы и может рассматриваться как известный. Предположим, что ось х направлена вдоль линии тока, а оси y, z расположены в плоскости живого сечения. В этом случае проекции скорости Vy, Vz практически равны нулю и, в соответствии с уравнением неразрывности, т.е. в таком потоке скорость V=Vx(y,z).

Полагая движение жидкости установившимся, находим:

• 
• (1.35)

Последние два уравнения (1.35) полностью совпадают с соответствующими уравнениями равновесия покоящейся жидкости. Это означает, что в плоскости живого сечения, в плавно изменяющемся движении вязкой жидкости, давление распределено по гидростатическому закону. Давление p в данной точке: p=p_c+p_u, где p_c- гидростатическое давление, p_u- избыточное. Тогда, согласно уравнениям гидростатики, первое из уравнений можно записать в следующем виде:

• 
• (1.36)

В соответствии с этим уравнением все потоки вязкой жидкости с плавно изменяющимся течением можно подразделить на две основные категории: безнапорные и напорные. В безнапорных потоках , т.е. избыточное давление в них постоянно. К ним относятся течения жидкости в открытых руслах, каналах, а также течение между параллельными стенками, из которых одна, например, движется, а другая неподвижна.

В напорных потоках . Они характерны для течений в трубах, сечение которых полностью заполнено. В напорном плавно изменяющемся течении вдоль потока избыточное давление распределено по линейному закону. В напорном течении источником энергии, приводящим поток в движение, является перепад избыточного давления. В безнапорном потоке в открытом русле движение вязкой жидкости поддерживается за счет действия массовых сил, т.е. слагаемого Fx.

Введем для данного живого сечения S плавно изменяющегося течения вязкой жидкости понятие средней скорости Vcp. Средняя скорость равна расходу, деленному на площадь живого сечения. Тогда для описания напорного течения достаточно знать зависимости средней скорости и избыточного давления в функции от координаты х, отсчитываемой вдоль потока, а для описания безнапорного течения - зависимости Vcp и глубины потока от х. Поэтому в обоих случаях задачу с достаточной степенью точности можно рассматривать как одномерную. В рамках одномерной задачи возможно изучение и неустановившихся плавно изменяющихся течений, в которых скорость Vx является функцией времени. При этом от времени будут зависеть также средняя скорость и давление в напорном течении, а в безнапорном - глубина потока.

Для решения задач об одномерных потоках вязкой жидкости необходимо установить соотношение, связывающее средние скорости такого потока с давлениями.

Предполагая, что движение жидкости происходит в поле сил тяжести и что оно установившееся, можно для частиц, расположенных на одной и той же линии тока в невязкой жидкости, используя уравнение Бернулли (1.16), записать

• 
• (1.37)

Это соотношение выражает закон сохранения механической энергии частиц, расположенных в любых точках 1 и 2 вдоль данной линии тока в невязкой жидкости. Однако при движении в вязкой жидкости от точки 1 к точке 2 вдоль линии тока будет происходить рассеивание или диссипации энергии. Этот процесс связан с появлением вязкостных напряжений и, в частности, сил трения, на преодоление которых затрачивается некоторая доля энергии жидкости. Следовательно, в вязкой жидкости при установившемся течении вдоль линии тока справедливо следующее соотношение для удельных энергий:

• 
• (1.38)

где hп=АВ/g - удельная потеря энергии в вязкой жидкости между двумя точками линии тока. В настоящее время нет эффективных расчетных формул для вычисления величины hп.

Введем коэффициент

• 
• (1.39)

учитывающий влияние неравномерности распределения скорости по сечению на величину кинетической энергии, вычисленную по средней скорости потока. Если Vcp =соnst, то α_к=1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости будет иметь вид:

• 
• (1.40)

где z1 - геометрическая высота для данного начального сечения, откладываемая от плоскости сравнения; p1/γ - пьезометрическая высота; α_k1V²cp1/2g - высота приведенного скоростного напора; H представляет собой полную удельную потерю энергии, отнесенную к единице веса жидкости, протекающей через второе сечение потока в единицу времени. Внутренняя поверхность реальных труб всегда в той или иной мере шероховата, т.е. покрыта неровностями в виде мелких бугорков. Эти бугорки могут распределяться по поверхности трубы равномерно, иметь различную форму и высоту kб в зависимости от причин их образования (технология обработки, коррозия, эрозия и т.п.)., используется понятие относительной шероховатости k_б/r₀. Эксперименты показывают, что шероховатость не сказывается на сопротивлении труб при ламинарном течении, однако может оказать существенное влияние на закон распределения скорости и сопротивление при турбулентном течении жидкости в трубе. Коэффициент сопротивления при течении в шероховатой трубе /6/:

• 
• (1.41)

χ=0,4-0,41; B1 - функция параметра шероховатости. Используя значение постоянной χ=0,4 и в случае зернистой шероховатости В₁ =8,48, получим:

• 
• (1.42)

предыдущий раздел | содержание| следующий раздел

Поиск в журналах РАЕ:

Авторы Публикации